数列的递推形式

讨论范围

今天仅讨论关于形如$a_n=f(a_{n-1})$的一阶递推中的分式线性递推，以及形如$a_n=f(a_{n-1},a_{n-2})$的二阶递推中的线性递推

一阶分式递推问题

问题描述

定义数列$\{a_n\}$，满足$a_{n+1}=\frac{pa_n+q}{ra_n+s}$，其中$p,q,r,s ∈ R$，求数列通项公式

特定解决方法

不动点法

基本原理

将分式递推变换成等比/等差递推

过程

构造方程 $x=\frac{px+q}{rx+s}$

$①若原方程有两不等根:λ_1,λ_2$

则$\phi(x)=\frac{a_{n+1}-λ_1}{a_{n+1}-λ_2}$，$\{\phi_i\}$必为等比数列

即可间接通过求$\{\phi_i\}$的通项式求出$\{a_n\}$的通项式

$②若原方程有两不等根:λ_1=λ_2=λ$

则$a_{n+1}-λ=\frac{p-λr}{ra_n+s}(a_n-λ)$

左右两边同时取倒数可得: $\frac{1}{a_{n+1}-λ}=\frac{ra_n+s}{(p-λr)(a_n-λ)}$

则$\frac{1}{a_{n+1}-λ}$为等差数列，间接可求$\{a_n\}$的通项式

未完待续

附件列表

强基计划第1讲数列递推形式-学生版.pdf
2.27笔记.pdf